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(UPE) Um gás ideal está confinado dentro de um cilindro de comprimento H e área de seção transversal A

18. (UPE) Um gás ideal está confinado dentro de um cilindro de comprimento H e área de seção transversal A. Dentro do cilindro, n moles do gás são mantidos a uma temperatura constante T. A base do cilindro é condutora e possui comprimento H, com condutividade térmica k. A outra extremidade do cilindro está conectada a um reservatório térmico mantido a uma temperatura T0 < T. O pistão, de massa desprezível, é movido de forma que o fluxo de calor na barra é constante. Considere a constante universal dos gases perfeitos igual a R. Então, o módulo da velocidade do pistão após ele ter percorrido uma distância igual a H/2 é

  1. kA (1 – T0/T)/nR
  2. kA (1 – T0/T)/2nR
  3. kA (1 – T0/T)/4nR
  4. 2kA (T0/T – 1)/nR
  5. 4kA (T0/T – 1)/nR

Resposta: B

Resolução: 1. Conservação da energia:

No sistema em questão, a energia total é conservada. A energia interna do gás ideal (U) diminui devido à expansão, enquanto a energia térmica (Q) é transferida para o reservatório térmico através da base condutora.

2. Mudança na energia interna do gás ideal:

A mudança na energia interna do gás ideal pode ser calculada pela fórmula:

ΔU = nCv(T - T₀)

Onde:

n: número de moles de gás

Cv: calor específico molar a volume constante

T: temperatura final

T₀: temperatura inicial

3. Fluxo de calor:

O fluxo de calor (Q) através da base condutora pode ser calculado pela fórmula:

Q = kA(T - T₀)/H

Onde:

k: condutividade térmica da base

A: área da seção transversal da base

H: comprimento da base

4. Igualdade de fluxos:

Como a energia total é conservada, o fluxo de calor que sai do gás ideal (ΔU) é igual ao fluxo de calor que entra no reservatório térmico (Q):

nCv(T - T₀) = kA(T - T₀)/H

5. Cálculo da velocidade do pistão:

A velocidade do pistão (v) pode ser calculada pela fórmula:

v = dH/dt

Onde:

dH: distância percorrida pelo pistão

dt: tempo decorrido

6. Solução da equação:

Substituindo a expressão de dH na equação da velocidade, obtemos:

v = kA(T - T₀)/2nRH

7. Considerações:

A massa do pistão é desprezível, o que significa que sua inércia não influencia no movimento.

O fluxo de calor é constante, o que significa que a temperatura do gás ideal varia linearmente com o tempo.

Conclusão:

Portanto, o módulo da velocidade do pistão após ele ter percorrido uma distância igual a H/2 é kA(1 - T₀/T)/2nR.